《微积分学(华中科技大学数学系编)》(高等教育出版社)以及《高等数学(第三版)》(人民卫生出版社) 在推导二阶常系数齐次线性微分方程通解时,使用的均是一种 “受启发法” 的方式, 如 “在解一阶常系数齐次线性微分方程时,得到它的通解为指数函数 $y=Ce^{-\int p(x)\mathrm{d}x}$。 受此启发,假定微分方程 $y''+py'+qy=0$ 也有指数函数形式的解, 即 $y=e^{rx}$ 是微分方程 $y''+py'+qy=0$ 的解,则将 $y=e^{rx}$ 和 \(y''=re^{rx}\)\(y''=r^2e^{rx}\) 代入微分方程 \(y''+py'+qy=0\)......” 由此,便推出了特征根;再如其在推导特征根两根相等时通解的求法时,似乎又是受了某种启发, 直接猜测 “ $y_2=u(x)e^{rx}$ 为微分方程 $y''+py'+qy=0$ 的另一个特解”。

这样,在推导二阶常系数齐次线性微分方程通解时,竟有两个关键之处使用了天才式的猜测, 显得生硬突兀,不够自然,而且很不容易让人理解,并且会让人误解为 “这似乎是在碰运气“,没有很好得体现数学的美感。

回顾初中时解二次方程 $ax^2+bx+c=0$,有一种策略是将原方程化成 $a(x+k)^2+m=0$ 的形式(其中 $k$、$m$ 为与 $a$、$b$、$c$ 相关的待定系数),继而$x=\pm\sqrt{\frac{-m}{a}}-k$,从而达到了降次的目的。同 样的,我们也可以将 $y''+py'+qy=0$ 化成 $(y'+ay)’+b(y'+ay)=0$ 的形式(其中 $a$,$b$ 为与 $p$,$q$ 相关的待定系数),从而达到降阶的目的,则有:

系数对应 $\Rightarrow$ $a+b=p$,$ab=q$

再由韦达定理

\[\begin{aligned} &\Rightarrow a,b\space\text{是一元二次方程}\space x^2-px+q=0\space\text{的两根} \\ &\Rightarrow a,b=\frac{p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2} \end{aligned}\]

为便于书写,不妨令 $u=y'+ay$,则

\[u’+bu=0\]

运用公式解得:

\[u=C_1 e^{−bx}\]

\[\Rightarrow y'+ay=C_1 e^{-bx}\]

运用公式解得:

\[\begin{aligned} y&=e^{-ax}(\int C_1 e^{-bx}e^{ax}\mathrm{d}x+c_2) \\ &=e^{-ax}(\int C_1 e^{(a-b)x}\mathrm{d}x+c_2) \end{aligned}\]

分情况讨论:

所有情况的结果均与《高等数学(第三版)》上相同,因此,此种解法结果正确。


这种解法的好处是:

  1. 推导过程自然,顺理成章;
  2. 以解一阶线性微分方程为基础推导得出,多处直接使用公式,方法更简洁易懂;
  3. 不涉及二阶线性微分方程解的性质及定理,直接求出通解;
  4. 使用该法亦可直接推出二阶常系数非齐次线性微分方程通解;

    思路如下:

    \[y''+py'+qy=f(x)\]

    令 $u=y'+ay$

    则 $u’+bu=f(x)$

    运用公式:$u=e^{-bx}[\int f(x)e^{bx}\mathrm{d}x+C_1]$

    又 $y'+ay=u$

    运用公式:$y=e^{-ax}[\int u(x)e^{ax}\mathrm{d}x+C_2]$

    此时不需要特解而能得出通解,虽然我们可以由对应的齐次线性微分方程 的通解和非齐次项 $f(x)$ 对应的特解更为简便地求出通解,但当我们忘记非齐次项 $f(x)$ 对应的特解形式时,这倒是个不错的通法。

  5. 使用此降阶思想,也适用于某些特殊的高阶常系数线性微分方程,如:

    \[y^{(4)}−2y^{(3)}+2y''−2y'+y=0\]

    令 $u=y''-2y'+y$

    则 $u''+u=0$

    由先前的推导 $u=C_1\cos{x}+C_2\sin{x}$

    则 $y''-2y'+y=C_1\cos{x}+C_2\sin{x}$

    运用 4 的思路易得 $y=C_1\cos{x}+C_2\sin{x}+(C_3+C_4x)e^x$