金融市场基石
万丈高楼平地起，一切从了解最基础的金融产品开始。
股票 (Equities)
代表对一家公司的部分所有权。投资者通过购买股票分享公司未来的利润和成长，其价格具有显著的随机性。
商品 (Commodities)
指原材料，如黄金、石油、农产品等。价格受供需、季节性因素影响，通常通过期货市场进行交易。
汇率 (Currencies)
一种货币兑换成另一种货币的比率。外汇市场（FX）是全球最大的金融市场，汇率与两国利率紧密相关。
指数 (Indices)
由一篮子代表性股票加权构成，用于衡量整个市场或特定行业的表现，如标普500指数（S&P 500）。
模拟股价：随机游走
我们无法精准预测股价，但可以利用概率模型来模拟其行为。一个简单的“抛硬币”实验就能揭示其核心特征。
假设股价初始为100。每次抛硬币，正面则价格乘以 1.01，反面则乘以 0.99。这种乘法模型（几何随机游走）比加法模型更真实，因为它反映了回报率的随机性，且股价不会为负。
金融的基石：货币时间价值
“今天的一美元”比“明天的一美元”更有价值，因为利息的存在。理解复利是理解一切金融定价的基础。
复利的力量
假设利率为 $r$，本金为1，投资1年：
- 每年计息 ($m=1$): 价值为 $(1+r)$
- 每季度计息 ($m=4$): 价值为 $(1 + r/4)^4$
- $m$次计息: 价值为 $(1 + r/m)^m$
当计息频率 $m$ 趋向于无穷大时，我们就得到了连续复利。
因此，在连续复利下，初始金额 $M(0)$ 在时间 $t$ 后的价值为：
复利的可视化
下图展示了随着计息频率($m$)的增加，离散复利如何逐渐逼近平滑的连续复利曲线（$r=10\%$）。
金融理论的圣杯：无套利原则
这是衍生品定价的基石。它指出，在有效的市场中，不存在任何无风险获利的机会。我们可以利用这个原则来为远期合约定价。
远期合约定价：一个经典的无套利论证
构建投资组合 (时刻 t)
为了锁定未来，我们现在就构建一个特殊的、零成本的投资组合。
- 买入一份远期合约 (成本: 0)
- 卖空一份标的资产 (收入: $S_t$)
- 将卖空所得 $S_t$ 存入银行
分析现金流
这个组合在初始和到期时的价值是确定的，与未来股价无关。
| 头寸 | 时刻 t 价值 | 时刻 T 价值 |
|---|---|---|
| 远期合约 | 0 | $S_T - F$ |
| 卖空股票 | $+S_t$ | $-S_T$ |
| 银行存款 | $-S_t$ | $S_t e^{r(T-t)}$ |
| 总计 | 0 | $S_t e^{r(T-t)} - F$ |
得出结论
由于初始投资为零，且到期收益是无风险的，根据无套利原则，该收益也必须为零。
因此，我们得到了远期价格的定价公式：
期货定价的变体
基础的远期定价公式可以根据不同资产的特性进行调整，如考虑持有成本、收益等。
商品期货
需考虑存储成本 $s$ 和便利收益 $c$。
外汇期货
需考虑外国无风险利率 $r_f$。
指数期货
需考虑指数的连续股息率 $q$。
检验你的理解
尝试回答以下问题，巩固所学知识。
1. 一家公司进行“三送一”的股票分割，这对股价有什么影响？
答：在理想情况下，股价会变为原来的 1/3。例如，90美元的股票在三送一分割后，投资者将持有三股，每股价值30美元。总市值保持不变。
2. 现货汇率为2.350，一个月远期汇率为2.362。在无套利情况下，一个月的利率是多少？
提示：使用公式 $F = S e^{r(T-t)}$ 并求解 $r$。这里 $S=2.350$, $F=2.362$, $T-t = 1/12$ 年。
解： $2.362 = 2.350 \times e^{r/12}$
$\ln(2.362/2.350) = r/12$
$r = 12 \times \ln(1.0051) \approx 0.061$ 或 $6.1\%$。
3. 一份远期合约，标的资产在 $t_d$ 时刻支付比例为 $D$ 的股息。用无套利方法求远期价格 $F(t)$。
提示：考虑在时刻 $t$ 卖空股票，并将股息收入进行再投资的策略。
解：在时刻 $t$ 卖空1股股票获得 $S_t$，存入银行。在 $t_d$ 时刻，需要支付股息 $DS_{t_d}$，但由于我们已卖空，所以是收到这笔钱。这笔钱立即再投资。最终的无风险组合价值应为零，推导出远期价格。一个简化的结果（假设股息在到期时才收到并折现）是 $F = (S_t - D S_t e^{-r(t_d-t)})e^{r(T-t)}$。更精确的模型需要考虑股息发放对股价的影响。一个更直接的方法是，在时刻 $t$ 的组合价值为 $S_t$ 的资产，其在 $T$ 时刻的价值为 $S_t e^{r(T-t)}$，但中途会收到股息，其在 $T$ 时刻的终值为 $D S_{t_d} e^{r(T-t_d)}$。远期价格应等于资产的未来价值减去股息的未来价值。因此，一个常见的模型是 $F = S_t e^{r(T-t)} - \text{Dividends Future Value}$。如果股息是确定的金额 $d$, $F=(S_t - de^{-r(t_d-t)})e^{r(T-t)}$。